LogicAnalyzer V1.5 - Anleitung

Inhalt

1. Was kann LogicAnalyzer?
2. Installation
3. Programm ausführen
4. Wie funktioniert Aussagenlogik?
  4.1 Einstieg
  4.2 Die wichtigsten Junktoren
  4.3 Der Konditional
  4.4 Aussagenlogische Schlussfolgerungen
5. Anwendungsbeispiele
  5.1 Beispiel Rene Descartes
  5.2 Beispiel Duden
  5.3 Beispiel Hirnversalzung und Nasophobie
6. Anmerkungen

1. Was kann LogicAnalyzer?

Das Programm ist in erster Linie für Leute gedacht, die sich bereits ein wenig mit Aussagenlogik auskennen. Trotzdem kann man auch als Anfänger einen Einblick in die ganze Sache gewinnen, z.B. mit der Einführung in die Aussagenlogik und den Übungsbeispielen. LogicAnalyzer baut auf Wahrheitstafeln auf.

2. Installation

Es sollte zuerst die neuste Version der Java-Unterstützung installiert werden. Danach kann LogicAnalyzer hier als JAR-Version heruntergeladen werden.

3. Programm ausführen

Die JAR-Version öffnet man mit Doppelklick auf LogicAnalyzer.jar. Falls das nicht klappt, Rechtsklick auf die Datei und öffnen mit Java(TM) Platform SE binary.

4. Wie funktioniert Aussagenlogik?

4.1 Einstieg

Hier soll nur ein ganz grober Einstieg in die Aussagenlogik gegeben werden. Wer sich für das Thema interessiert, sollte sich an seriösere Literatur wenden :).

Eine Aussage ist eine sprachliche Äusserung, die entweder wahr oder falsch ist. "Heute regnet es" ist eine Aussage, während "warum regnet es schon wieder?" keine Aussage ist. Eine Aussage kann entweder einfach oder komplex sein. So ist z.B. die Aussage "Wenn du vom Hochhaus hinunterspringst, stirbst du" eine komplexe Aussage, zusammengesetzt aus zwei einfachen Teilaussagen. Nämlich aus 1."Du springst vom Hochhaus hinunter " und 2. "Du stirbst". Die Verknüpfung der Teilaussagen wird mit einem Junktor (Aussagenverknüpfung) analysiert, hier dem Konditional (siehe Junktorentabelle), welchen man umgangssprachlich mit "wenn... dann..." übersetzen könnte.
Für die Aussagen verwendet man zur Abkürzung Aussagenkonstanten in Form von Kleinbuchstaben, typischerweise p, q, r, s, t etc. Für die Junktoren gibts Symbole, von denen die wichtigsten in der folgenden Junktoren-Tabelle aufgeführt sind.

4.2 Die wichtigsten Junktoren

Wahrheitswerte*
Symbol
Name
normalsprachliche Deutung
künstliche Deutung
w f f f
Konjunktion
und
stets beides
w w w f
Disjunktion
oder
mindestens eines
w f w w
Konditional
wenn, dann
das erste nicht ohne das zweite
w f f w
Bikonditional
genau dann, wenn
beides oder keines
f w w f
Kontravalenz
entweder oder
genau eines von beiden

* Die Wahrheitwerte kommen aus der Verknüpfung von zwei Aussagen durch den jeweiligen Junktor zustande:

p
q
Konjunktion pq
Disjunktion pq
Konditional pq
Bikonditional pq
Kontravalenz pq
w
w
w
w
w
w
f
w
f
f
w
f
f
w
f
w
f
w
w
f
w
f
f
f
f
w
w
f

Ausserdem gibts noch die Negation (), welche den Wahrheitswert einer Aussage umkehrt. Wenn p wahr ist, dann ist p falsch und umgekehrt.

Es muss darauf hingewiesen werden, dass es oft nicht einfach ist, alltagssprachliche Aussagen mit aussagenlogischen Formeln zu analysieren. So wird z.B. "Ich gehe an die Uni, obwohl ich keine Lust habe" mit pq (ich gehe an die Uni und ich habe keine Lust) analysiert. Das Widerstreben des "obwohl" fällt völlig weg. Hier sieht man, dass in der Aussagenlogik der Inhalt der sprachlichen Aussagen nicht interessiert, sondern dass es nur um wahr oder falsch geht.

Ausserdem können nicht alle Aussagen analysiert werden mit Aussagenlogik. Daher gibts noch andere, kompliziertere Logik-Arten: Prädikatenlogik, Quantorenlogik, Modallogik etc.

4.3 Der Konditional

Konditionalsätze (wenn... dann...) sind speziell trickreich. Sie sind keine Kausalsätze, sondern Bedingungssätze, d.h. Sätze, die ein Bedingungsverhältnis ausdrücken, kein Ursache-Wirkung-Verhältnis. Der Kausalsatz "Die Kugel fällt zu Boden, weil ich sie losgelassen habe, ist nicht formalisierbar mit einem Konditional. Der Bedingungssatz "Wenn ich die Kugel loslasse, dann fällt sie zu Boden" allerdings schon.

Ich erkläre den Konditional anhand des Beispiels "Wenn Hans sich auf die Prüfung vorbereitet, dann besteht er die Prüfung" (pq).

  1. Angenommen Hans bereitet sich auf die Prüfung vor (p), dann ist klar, dass man folgern kann, dass er die Prüfung besteht (q). Das Vorbeiten (p) ist eine hinreichende Bedingung für das Bestehen (q). Diese Art zu Folgern nennt man Modus Ponens.
  2. Aber wie sieht es nun aus, wenn Hans sich nicht auf die Prüfung vorbereitet (p)? Kann man dann folgern, dass er die Prüfung nicht besteht (q)? Nein, Hans könnte einfach auch nur Glück haben an der Prüfung und trotzdem bestehen. Unsere Regel (pq) schliesst dies ja nicht aus.
  3. Nehmen wir an, Hans besteht die Prüfung nicht (q). Wir können nun folgern, dass er sich nicht vorbereitet hat (p), denn hätte er sich vorbereitet (p), dann hätte er Aufgrund unserer Regel (pq) bestanden. Diese Art zu Folgern nennt man Modus Tollens.
  4. Wie sieht es nun aus, wenn wir annehmen, dass Hans die Prüfung bestanden hat (q)? Können wir nun folgern, dass er sich auf die Prüfung vorbereitet hat (p)? Nein, aus dem gleichen Grund wie bei Punkt 2: Er könnte einfach Glück gehabt haben. Das Bestehen (q) ist zwar eine notwendige Bedingung für das Zutreffen der Vorbereitung (p), d.h. keine Vorbereitung ohne Bestehen der Prüfung, aber keine hinreichende Bedingung dafür.

Zusammengefasst: Wenn pq gilt, dann können wir von p auf q (Modus Ponens) und von q auf p (Modus Tollens) schliessen, aber nicht von p auf q und auch nicht von q auf p.

4.4 Aussagenlogische Schlussfolgerungen

Von einer aussagenlogischen Schlussfolgerung spricht man, wenn von einer oder mehreren Aussagen (Prämissen) auf eine andere Aussage (Konklusion) geschlossen wird. Eine Schlussfolgerung ist dann gültig, wenn die als wahr angenommenen Prämissen zwingend zum Wahrsein der Konklusion führen, sonst nicht.

Beispiel: Die Sonne scheint. Wenn die Sonne scheint, dann gehts mir gut. Also gehts mir gut.
(p: Die Sonne scheint. q: Es geht mir gut.)

Prämissen:
1 . p
2 . pq

Konklusion:
q

Die Prämissen werden mit einer Konjunktion () verknüpft und dann wird ein Konditional mit der Konklusion gebildet. Die Schlussfolgerung behauptet folgendes: Wenn Prämisse 1 wahr ist und Prämisse 2 wahr ist, dann ist die Konklusion wahr. Somit hängt die Gültigkeit der Schlussfolgerung von den möglichen Wahrheitswerten der zusammengesetzten Aussage (Schlusskonditional) p(pq)q ab:

p
(Prämisse 1)
q
(Konklusion)
pq
(Prämisse 2)
p(pq)
(Konjunktion der Prämissen)
p(pq)q
(Schlusskonditional)
w
w
w
w
w
w
f
f
f
w
f
w
w
f
w
f
f
w
f
w

Hier sieht man, dass der Schlusskonditional in allen möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte der einfachen Aussagen (p, q) wahr ist. Es gibt keine Möglichkeit, dass der Schlusskonditional falsch wird, also ist der Schluss gültig. Der Schlusskonditional ist eine logisch wahre Aussage. Eine logisch wahre Aussage ist unter allen Kombinationen der Wahrheitswerte Ihrer Aussagenkonstanten (p, q , r etc.) wahr und wird auch Tautologie genannt. Eine logisch falsche Aussage ist unter allen Kombinationen der Wahrheitswerte Ihrer Aussagenkonstanten (p, q , r etc.) falsch und wird auch Antilogie genannt.

Für die Aussagenlogik gibts witzige Anwendungsmöglichkeiten. Zum Beispiel philosophische Gottesbeweise überprüfen, die Aussagen von Politikern lächerlich machen, Schlupflöcher in juristischen Paragraphen suchen etc. :). Im Folgenden kommen Beispiele und die Anleitung, wie man sie mit Hilfe von LogicAnalyzer lösen kann.

5. Anwendungsbeispiele

5.1 Rene Descartes

Der Dualist Rene Descartes behauptet in etwa folgendes (Meditation 6, Absatz 19):
Der Körper ist seiner Natur nach teilbar. Wenn Geist und Körper eines und dasselbe sind, dann ist der Geist teilbar.
Der Geist ist seiner Natur nach aber unteilbar. Daraus folgt: Geist und Körper sind nicht eines und dasselbe.

Wir wollen nun prüfen, ob Descartes' Argument gültig ist. Ein gültiges Argument bedeutet: Wenn wir die Prämissen (Voraussetzungen) akzeptieren, dann müssen wir nach aussagenlogischen Regeln zwingend auch die Konklusion (Schlussfolgerung) akzeptieren.

Wir führen folgende Symbole (Aussagenkonstanten) ein:

Die Prämissen und die Konklusion können nun so formalisiert werden:

Vorgehen mit LogicAnalyzer:

Hinweis: Die Aussagenkonstanten p, q etc. werden per Tastatur eingeben, die Junktoren per Klick auf den entsprechenden Button oder mit der Tastatur-Alternativeingabe ("->" wird automatisch zu "", "and" wird zu "", etc.). Die Alternativeingaben werden beim Zeigen mit der Maus auf einen Junktor-Button als Tooltip angezeigt.

  1. "Aussagenlogischen Schluss analysieren" selektieren.
  2. Das Prämissen-Eingabefeld anklicken, p eingeben und auf "Hinzufügen" klicken.
  3. r, , q eingeben und dann auf "Hinzufügen" klicken.
  4. , q eingeben und dann auf auf "Hinzufügen" klicken.
  5. Das Konklusion-Eingabefeld anklicken und , r eingeben.
  6. Auf den "Analysieren" Knopf klicken.
  7. Das Resultat im Analysefenster ablesen.

Ist der Schluss von Descartes gültig? Ist der Monismus von Spinoza nun widerlegt?

5.2 Beispiel Duden

Im alten Duden Rechtschreibung (Mannheim, 1980. S. 61-62) findet sich folgende Regel:

R204: Treffen bei Wortbildungen drei gleiche Konsonanten zusammen, dann setzt man nur zwei, wenn ein Vokal folgt. (Bsp. Schiffahrt)

Dazu wird die Ergänzung formuliert:

Ergänzung: Folgt auf drei gleiche Konsonanten noch ein anderer, vierter Konsonant, dann darf keiner von ihnen wegfallen.

Die Frage ist: Folgt die Ergänzung logisch schon aus R204?

Wir führen folgende Symbole (Aussagenkonstanten) ein:

Die Prämissen und die Konklusion können nun so formalisiert werden:

Vorgehen mit LogicAnalyzer:

  1. "Aussagenlogischen Schluss analysieren" selektieren.
  2. Das Prämissen-Eingabefeld anklicken und p, , q, , r, eingeben und dann auf "Hinzufügen" klicken.
  3. Das Konklusion-Eingabefeld anklicken und p, , , q, , , r eingeben.
  4. Auf den "Analysieren" Button klicken.
  5. Resultat im Analysefenster ablesen.

Folgt nun die Ergänzung schon logisch aus Regel 204 oder nicht? Ist die Regel von der Logik her überflüssig?
( = Ist der Schluss gültig oder nicht?)

5.3 Beispiel Hirnversalzung und Nasophobie

Hier kommt noch ein lustiges Rätsel, dass ihr nun selbstständig probieren könnt:

Wolfgang fühlt sich krank und kommt ins Krankenhaus. Dort wird er von einem Professor und einem Medizinstudenten untersucht. Danach entwickelt sich folgende ärztliche Diskussion:

Professor: Bei dem Patienten kommen nur folgende sieben Krankheiten in Frage: Gummikauzwang, Hirnversalzung, Nasophobie, Denkinsuffzienz, Riechneurose, Zehsyndrom oder Sitzanomalie.
Angenommen, es ist Hirnversalzung? versucht's der Student.
Dann kann er nicht an Gummikauzwang leiden sagt streng der Professor.
Student: Wenn er Gummikauzwang hat, jedoch nicht an Riechneurose leidet?
Professor: Dann hat er Denkinsuffzienz. Und wenn der Patient nicht an Nasophobie leidet, dann hat er, falls er nicht an Gummikauzwang erkrankt ist, das Zehsyndrom oder Denkinsuffzienz, oder gar diese beiden Leiden.
Student: Wenn er nicht an der Sitzanomalie leidet, . . .
Professor: . . . dann hat er auch keine Denkinsuffzienz.
Student: Wenn der Patient unter Gummikauzwang leidet, . . .
Professor: . . . dann hat er entweder eine Sitzanomalie oder Hirnversalzung.
Falls er eine Riechneurose hat, dann hat er entweder Nasophobie oder Gummikauzwang.
Student: Wenn das Zehsyndrom vorliegt, . . .
Professor: . . . dann hat er auch eine Riechneurose, und falls er an Sitzanomalie erkrankt ist, hat er auch Nasophobie. Falls er Nasophobie hat, ist zwar eine Riechneurose auszuschliessen, doch liegt dann ein Gummikauzwang vor.

Nach dieser Unterhaltung ist der Student völlig verwirrt.
Welche Krankheiten hat der Patient nun, welche nicht?

Tipp: Für jede einzelne Krankheit eine Aussagenkonstante (p,q,r,...) definieren, die Informationen korrekt mit Prämissen ausdrücken und das Problem mit mehreren einzelnen Schlussfolgerungen mit LogicAnalyzer lösen!

6. Anmerkungen

© by Adrian Imfeld

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lösung zur Aufgabe mit den Krankheiten:

Die Prämissen werden mit Aussagekonstanten für Gummikauzwang (g), Hirnversalzung (h), Nasophobie (n), Denkinsuffzienz (d), Riechneurose (r), Zehsyndrom (z), Sitzanomalie (s) folgendermassen formalisiert:

Dann kann als Konklusion einzeln der Reihe nach g, h, n, etc. getestet werden. Der Patient hat Gummikauzwang (g), Nasophobie (n), Denkinsuffzienz (d) und Sitzanomalie (s), aber keine Hirnversalzung (h), keine Riechneurose (r) und kein Zehsyndrom (z). Der Screenshot zeigt die Gültigkeit dieser Konklusion.